在機器學習的優化問題中，梯度下降法和牛頓法是常用的兩種凸函數求極值的方法，他們都是為了求得目標函數的近似解。在邏輯斯蒂回歸模型的參數求解中，一般用改良的梯度下降法，也可以用牛頓法。由于兩種方法有些相似，我特地拿來簡單地對比一下。

　　1.梯度下降法

　　梯度下降法用來求解目標函數的極值。這個極值是給定模型給定數據之后在參數空間中搜索找到的。

　　迭代過程為：

　　梯度下降法更新參數的方式為目標函數在當前參數取值下的梯度值，前面再加上一個步長控制參數alpha。梯度下降法通常用一個三維圖來展示，迭代過程就好像在不斷地下坡，最終到達坡底。為了更形象地理解，也為了和牛頓法比較，這里我用一個二維圖來表示：

　　在二維圖中，梯度就相當于凸函數切線的斜率，橫坐標就是每次迭代的參數，縱坐標是目標函數的取值。

　　每次迭代的過程是這樣：

　　首先計算目標函數在當前參數值的斜率(梯度)，然后乘以步長因子后帶入更新公式，如圖點所在位置(極值點右邊)，此時斜率為正，那么更新參數后參數減小，更接近極小值對應的參數。

　　如果更新參數后，當前參數值仍然在極值點右邊，那么繼續上面更新，效果一樣。

　　如果更新參數后，當前參數值到了極值點的左邊，然后計算斜率會發現是負的，這樣經過再一次更新后就會又向著極值點的方向更新。

　　根據這個過程我們發現，每一步走的距離在極值點附近非常重要，如果走的步子過大，容易在極值點附近震蕩而無法收斂。解決辦法：將alpha設定為隨著迭代次數而不斷減小的變量，但是也不能完全減為零。

　　2.牛頓法

　　首先得明確，牛頓法是為了求解函數值為零的時候變量的取值問題的，具體地，當要求解 f(θ)=0時，如果 f可導，那么可以通過迭代公式，來迭代求得最小值。

　　通過一組圖來說明這個過程：

　　迭代的公式如下：

　　當θ是向量時，牛頓法可以使用下面式子表示：

　　其中H叫做海森矩陣，其實就是目標函數對參數θ的二階導數。

　　3.牛頓法和梯度下降法的比較

　　1.牛頓法：

　　是通過求解目標函數的一階導數為0時的參數，進而求出目標函數最小值時的參數;

　　收斂速度很快;

　　海森矩陣的逆在迭代過程中不斷減小，可以起到逐步減小步長的效果。

　　缺點：

　　海森矩陣的逆計算復雜，代價比較大，因此有了擬牛頓法。

　　2.梯度下降法：

　　是通過梯度方向和步長，直接求解目標函數的最小值時的參數;

　　越接近最優值時，步長應該不斷減小，否則會在最優值附近來回震蕩。